杠桿表梨形測頭的設(shè)計(jì)
圖1
1．梨形測頭曲面的數(shù)學(xué)模型
測量過程對梨形測頭曲面有兩點(diǎn)基本要求：（1）在測量范圍內(nèi)，任意兩點(diǎn)之間的直線長度應(yīng)有與之對應(yīng)的一段弧長；（2）被測長度在曲面與被測平面的切點(diǎn)的法線上。由此可以判斷，梨形曲面應(yīng)是一段漸開線的旋轉(zhuǎn)面，漸開線的基圓圓心在測桿的轉(zhuǎn)軸上，基圓半徑為測桿的理論長度，而測桿理論長度則應(yīng)在消除了原測桿正弦機(jī)構(gòu)理論誤差的情況下重新計(jì)算出來。
梨形測頭在基圓以內(nèi)的部分仍然采用球面，其半徑為Sr，但該球面應(yīng)與漸開線旋轉(zhuǎn)面吻合連接。
（1）基圓半徑Rd（即測桿長度）的計(jì)算
杠桿表測頭在圖2所示位置時，有
S＝αR／sinα＝c／sin（β－α） （1）
β＝arcsin［（c／b)sin（S／Rd）］＋S／Rdd
b
式中 S——杠桿表量程
α——測桿轉(zhuǎn)過的弧度
β——扇形齒輪轉(zhuǎn)過的弧度
圖2
由圖2所示傳動關(guān)系β／2π＝Z1／Zf，Z1／Zx＝Z2／Ze可得
Z1＝βZ／2π
Z2＝βZ／2πZxfZef
式中 Zf——扇形齒輪齒數(shù)
Zx——軸齒輪齒數(shù)
Ze——端面齒輪齒數(shù)
Zn——指針軸齒輪齒數(shù)
Z1——Zf與Zx嚙合的齒數(shù)
Z2——Ze與Zn嚙合的齒數(shù)
若杠桿表指針轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為rad，則有
rad＝2πZ2／Zn＝βZ／ZxZnfZe
令rad＝2π，則有
β＝2πZxZn／ZfZe
將上式與（1）式比較可得
arcsin［（c／b）sin（S／Rd）］＋S／Rd＝2πZxZn／ZfZe
或 （c／b）sin（S／Rd）－sin［（2πZxZn／Zfｓe）－（S／Rd）］＝0 （2）
由（2）式即可求解出Rd
用牛頓法求解Rd的Qbasic程序?yàn)椋?br> 10 INPUT b，c，S
20 LET Rd＝16
30 LET Bita＝ANT（1）?8?Zx?Zn／Zf／Ze
40 LET Y＝c／b?SIN（S／Rd）－SIN（Bita－S／Rd）
50 LET Yd＝S／Rd＾2?（COS（Bita－S／Rd）－c／b?COS（S／Rd））
60 LET Rd＝Rd－Y／Yd
70 IF ABS（－Y／Yd／Rd）
＝0．00001 THEN 90
80 GOTO 30
90 PRINT “Rd＝”；Rd
100 END
（2）極坐標(biāo)方程的建立
如圖3所示，首先計(jì)算梨形曲面漸開線的起始角A。。
圖3
θ＝arctg（Sr／Rd）
A＝（π／2）－θ＝（π／2）－arctg（Sr／Rd）
梨形曲面的極坐標(biāo)方程為
ρ＝Rd／cost
invt＝tgt－ｓ
式中 ρ——極徑
t——壓力角（rad）
invt——展開角（極角）
（3）球面半徑Sr的計(jì)算
如圖1所示，如果設(shè)定允許測桿偏離軸線的角度為t0，則
θ0＝tgt0－t0
Sr＝Rdtgθ0＝Rdtg（tgt0－t0）
注意：測頭根部半徑為Sr的球面的球心高于基圓。
2．漸開線型面坐標(biāo)點(diǎn)的計(jì)算
漸開線型面的直角坐標(biāo)方程為
求漸開線型面坐標(biāo)點(diǎn)的Qbasic程序如下：
10 INPUT Rd，Sr
20 LET A＝ATN（1）?2－ATN（Sr／Rd）
30 PRINT “t”，“x”，“y”
40 FOR t＝0 TO 1 STEP 0．01
50 LET p＝Rd／COS（t）
60 LET INVt＝TAN（t）－t
70 LET x＝p?COS（INVt＋A）
80 LET y＝p?SIN（INVt＋A）
90 PRINT t，x，y
100 IF x＝0 THEN 120
110 NEXT t
120 END
利用此程序求梨形測頭頂點(diǎn)的方法如下：運(yùn)行一次程序后，用倒數(shù)**個t值代替第40語句中“＝”號后的數(shù)，并把“STEP”后的數(shù)乘以0．01。如此反復(fù)操作，直至y值在萬分位之前不發(fā)生變化為止。這一y值就是頂點(diǎn)M（0，Ymax）中的Ymax值。然后用求極值的方法求Xmax，計(jì)算公式為
令
，則
sin（tgt－t＋A）tgt＝cos（tgt－t＋A）
從而解出
代入（3）式得
由此可求出梨形測頭的腰徑為
φ＝2Rdarctg（Sr／Rd）＝2Rdarctg［tg（tgto－to）］＝2Rd（tgto－to）
為便于在數(shù)控車床上加工梨形測頭，在程序的40語句中選擇適當(dāng)?shù)?font face="Times New Roman">STEP的值，得到60多個坐標(biāo)點(diǎn)，并將含有Xmax的N點(diǎn)和含有Ymax的M點(diǎn)納入其中，在設(shè)計(jì)圖上制成表示坐標(biāo)點(diǎn)的表格。**在視圖上標(biāo)出與梨形測頭的頂點(diǎn)、腰徑和漸開線基圓等有關(guān)的其它尺寸。
